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全国卷高考数学应用题归类解析
时间:2017-08-31浏览次数:1453次文章来源:天材教育

      全国卷高考数学应用题归类解析
   
类型一:函数应用题

    类型二:三角测量应用题

    类型三:数列应用题

    类型四:线性规划应用题

    类型五:解析几何应用题

类型一:函数应用题

1.1 以分式函数为载体的函数应用题 
例1. 工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为: (c为常数, 且0<c<6). 已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元.
(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=次品数产品总数×100%)
【解】(1)若 ,则 ,
若 ,则  ,          
(2)当 ,则
若 ,则 ,函数在 上为增函数,         
若 ,在 上为增函数,在 上为减函数,∴当 时, .    
综上,若 ,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若 ,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.  

例2. 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 (单位:平方米)之间的函数关系是 为常数). 记 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释 的实际意义, 并建立 关于 的函数关系式;
(2)当 为多少平方米时,  取得最小值?最小值是多少万元?
【解】(1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费,由 ,得 ,
所以 ;
(2)因为 .
当且仅当 , 时取等号,所以当 为55平方米时,  取得最小值为59.75万元.

 

1.3 以二次函数为载体的函数应用题
例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系, 轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米.
(1)求助跑道所在的抛物线方程;
(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4米到6米之间(包括4米和6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)
 
【解】(1)设助跑道所在的抛物线方程为 ,
依题意:    解得, , , ,
∴助跑道所在的抛物线方程为 .        
(2)设飞行轨迹所在抛物线为 ( ),
依题意: 得 解得
∴ ,
令 得, ,∵ ,∴ ,
当 时, 有最大值为 ,则运动员的飞行距离 ,                 
飞行过程中距离平台最大高度 ,依题意, ,得 ,
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间.


类型二:三角测量应用题
2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题
例7. 如图,两个圆形飞轮通过皮带传动,大飞轮 的半径为 ( 为常数),小飞轮 的半径为 ,
 .在大飞轮的边缘上有两个点 , , 满足 ,在小飞轮的边缘上有点 .设大飞轮逆时针 旋转一圈,传动开始时,点 , 在水平直线 上.m]
(1)求点 到达最高点时 , 间的距离;
(2)求点 , 在传动过程中高度差的最大值.